《运动何以可能——古典哲学接连忽视的一条绝妙路径》上篇之十八
从原点论的角度观察自然数的本质
华柱济舟
首先看一个事实：人们在使用自然数时有一个先验条件，即抽象出一个基本不变量——单位1，虽然我们所见没有两个完全相同的事物。如我们数一群羊，1只羊、2只羊、3只羊、4只羊……我们潜意识就已经认为每只羊一样，即忽视每只羊的颜色大小性别等个性，把每只羊当作相同的1，这样数羊才有意义。否则我们将只能计量每只羊所包含的细胞数、原子数。假如眼前有一只羊、一头猪、一头牛、一条狗，尽管这四种动物的形状大小、包含的细胞数都不相同，但是我们依然能这样说：“这里有四只动物”，为什么？因为我们可以将羊、猪、牛、狗抽象为一个概念：动物。在我们“思维世界”中，羊猪等就是具有同一性的“动物”概念而已，既然有了同一性，当然可以用“1”表示。
集合论说的也是这个意思，如3定义为一切三元组的集合，而忽视3个元素之间的所有差异。
我们不得不问，为什么有这样一个先验条件？自然数仅仅是抽象出来的存在于我们的心理世界之中吗？为什么抽象出来的概念能够表现出一致性作为数学的基础，进而对物理世界的研究具有重大的指导作用？为什么数学具有无理由的有效性？从原点模型的角度观察自然数也许有所启发。
1、原点顿生，依次生，顿生之间没有过程。所有原点性质相同。
用原点论的这个推论看0和1。皮亚诺从不加定义的基本概念“1”、“数”、“后继”与如下5个自然数的性质公理出发建立自然数的皮亚诺公理系统。
（1）1是一个数。
（2）任何数的后继也是一个数。
（3）没有两个数具有相同的后继。
（4）1不是任何数的后继。
（5）任何性质，如果1具有而且任何数的后继也具有的话，则所有的数都具有此性质。
这5条公理与原点模型的观点何其相似。“1不是任何数的后继”，也就是说，没有一个数在1之前，或者说没有一个数能渐变产生1，说的就是1忽然而来，顿生无过程而来。
“没有两个数具有相同的后继”,自然数依次生，每一步恰好定义一个自然数，具有序数的含义。如果有两个数具有相同的后继，例如3和7具有相同的后继m，则3和7的关系不能定义为“小于”、“等于”、“大于”之中的任何一种关系。如此，自然数失去一致性，没有自然数的一致性，当然就没有算数的一致性。
如前节推论，当下也只能顿生一个原点，不能同时顿生多点，天然具有次序一致性。没有原点的一致性，也没有物理世界表现出来的规律性、和谐性。
那么，0是什么？绝非虚无，绝非无意义。按本书观点，0是代表的是无限连续的真空基态，真空没有任何物质形态。0可视为空集，没有任何元素的集合；真空遍自身一切处，点是真空相变，物体是点的集合，因为连续，所以任何测量的起点，都可把起点称为0。任意一点都可作为坐标原点建立坐标系，这也许蕴含深刻的含义。
“0+0=0”，“0-0=0”，仅仅是人为的定义吗？为什么作这样的规则定义，为什么这样规则才能保证数学运算的一致性？为什么数学这样的一致性才能具有无理由的有效性？能描述物理？需要深入追问。我们的直觉是有极其深层的本质。
这个规则说明0是不可叠加的，也是不可分割的，恰是因为代表的无限连续的真空是不可叠加、分割。0也是相对无和绝对有，也可以认为是包含一切的整体“一”。唯有绝对整体身份可不变，超越一切相对，一切相对是其体现。无法用语言描述形容，只能说：自身是自身，主宾都是自。
所以0+0=0，0-0=0。那么“1+1”为什么不能定义为等于1？自然数、分数等，代表是具体有形物与有所限制的空间，是离散的，不是无形、不可测的、无法用数量表征的基态。0加任何数为什么等于任何数，例如“0+1=1”？从原点论的角度看，这个人为规范也非常深刻，或者说是直觉到本质。因为计算本质是计算有形离散的数量，真空之无，显示一切具体有形。真空作为基态不变，仿佛超越具体物存在。
任何相同的数相减等于0，或者说加上其相反数等于0，例如“1-1=0”，从原点论的角度看，是说原点及具体物产生后，又被否定，即平复于真空基态。
从原点论来看，二进制是最根本的进制，为什么信息都可以用二进制表示？“1”代表最基本的单位——原点，原点是物质基元和信息基元。原点1不断在真空基态中生生灭灭、更新平复、关系构建。每一次更新构建关系都会有空间位置的变化，与其余点的距离变化。因此原点1的生生灭灭，在真空中与其余原点1的空间位置关系，本身就是二进制0与1的直观具体的体现。
我们反复强调了，意义信息比形体更本质，关系的纠缠、融合，本质是信息意义的纠缠融合。
0，印度发明之初，就带本体论意义。“有”，是人类最上手的认识，例如食物工具，但对“无”的认识，是漫长的过程。为什么相当长时间欧洲数学家还不接受0？为什么物理学的发展伴随着对真空的理解，或者说对真空的理解促进了物理学的发展？
2、原点是无限全体自限定的空间，任何限定的空间本质还是无限空间，因此限定的空间内依然无限、连续。
用这个观点看（0,1]。康托尔证明此区间是不可数集（证明过程不赘述），并有：令a∈R,b∈R,且a﹤b,则[a,b]也是不可数集。区间如果就当作限的空间，则从外部看是有限的，从内部看是连续的。
3、原点是无限全体相变，点内点外本是一体。原点是物质基元，集合成物。
此观点表明：原点是不变的基元，不可分不可测，但是自然产生的原点集合成物，可以定义一个不变的长度测量的基本单位；全体是连续与非连续的统一，因此对物体所限空间的测量是绝对不可测与相对可测的统一。
看无理数与有理数。毕达哥拉斯学派相信空间任意两条线段a与b都可公度，就是指存在一条小线段d作为a与b的共同度量单位，使得a=nd,b=md。实际上意味着，其中m与n都是整数，因此两条线段可公度，就是指任意两条线段长的比是整数或分数，但是空间是无限不可测的，不可能任意给定一段空间距离，刚好是给定的长度测量基本单位的整数倍或整数比，如10.2可以表示10个单位加等分的单位长度，表明正方形的对角线这段距离用基本单位去度量，会有一小段空间是用单位无法准确度量的——将单位等分再测量也不能。同理如此。
无法等分就不能用分数表示，只能借用某个符号——我们用根号表示，而且这段无法度量的空间因为无限连续，如果用一把尺子测量这段空间，我们需要无限次的看尺子上的刻度，而且永远看不完，无理数小数部分无限不循环正是不可测的体现。毕达哥拉斯认为万物皆数，这是有一定道理的，认为只需有理数就错了——必须有无理数，才能与离散的有理数组成连续的实数集合。
无理数是连续的，表征的就是连续同一的空间，有理数是离散的，表征的是离散限制的物体或空间，实数就表征连续与离散对立又统一的实体。对于连续的空间，离散的有理数当然无法完全表示，所以对空间的测量描述是既需有理数，又需无理数。
4、原点客观不可再分的基元，但可以“想象”其可无限分割。
再来看令人困惑的一个问题。几何学中的点线面都是理想化的实体，是极端抽象的概念：点是没有大小的，线是没有粗细的，面是没有厚度的。然而，奇怪的是，极端抽象的概念编织而成的数学竟能广泛应用于现实世界中。如下例，由七个原点组成的图形：
因为有形物中原点至小，与空间同体，在心理上仍然和空间一样可无限划分，我们可以把点想得更小，在心中与实体对应，把上图想成一条如下图的线段：
如果觉得这条线想得还不够细，让我们用思维的利刃再切削，让线更细、更细……不过,请注意,不管你在心中如何抽象,毕竟有形象,无形的只有空无。无论怎样抽象，不过是在心中制造了一个“原点”，还是承认有一个相同单位的点组成线——因为我们认为线的宽度粗细是一致的。这条线段不过是把这段本来无形的空间距离显化而已。
再看微积分，将说明：尽管连续性平滑性是微积分的基础，但绝离不了不可分元。下图是用定积分求x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)围成的曲边梯形示意图。
在[a,b]中任意插入n-1个分点,把[a,b]等分为n个小区间：[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4],…[xi,xi+1],…[xn,xn+1]。每个小区间的长度为⊿x(⊿x=b-a/n),过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,然后在小区间[xi,xi+1](i=1,2,3,…，ｎ)上任取一点ξi引x轴的垂线交曲边梯形的曲边于Pi，则Pi的纵坐标为f(ξi),任取xi[xi-1，xi]，以f(ξi)为长、Δx为宽的小矩形面积f(ξi)Δx近似代替第i个窄曲边梯形的面积。曲边梯形的面积近似为：
当分点n愈大，则Δx愈小，n个小矩形面积和愈接近曲边梯形的面积，当n∞，也即⊿x0时，n个小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积s,即
同样的，无论在[a,b]中插入多少个分点，就算n∞，前提依然是“等分”，只有等分才能以直代曲，运用积分求和。也就是说，虽然Δx0,但在使用时，但是我们的心中依然把Δx当作一个单位1，前提依然存在一个不可分元——心理上的不可分元。
这种心理上潜意识的、不自觉的分析运用可说是先验的。如欧几里德定义“点没有部分”，如祖暅和卡瓦列里的截面原理，不承认一个不可分量，绝对是不可能的。
数学原子论指导数学家得到了许多发现，然而，面临无穷小量却充满疑惑。这种疑惑是没有把空间与点、思维和真实联系起来思考。无穷小量就是在心中把有形无限分割的过程，使用时却有一个分割终止，承认一个不可分割量的存在。无穷小的极限是0，却永远不会是“没有”。有形的线段既不是连续的，也不是离散的，根本不会有将线段无限分割，分到最终没有大小，把没有大小积累起来线段结果为零的荒谬，也不会有分到最终有大小，无穷有大小的东西积累起来线段是无限大的荒谬。（一个“部分和整体”的悖论：“给定一根有限长的木棒。现在设想把它分成两半，然后再将这两半都两等分，不断进行下去，这个过程没有极限，所以这个木棒包含无穷多个部分。如果每一部分有一个非零的有限长度，那么，因为木棒包含无穷多这样的部分，所以木棒本身的长度是无限长的。而且因为所有的木棒，不管多长，都是无限可分的，所以，所有的棒都是无限长的。假如每一部分都没有长度，那么棒的长度也为零。每一根棒的长度也为零。”问题在哪？物理分割不可能没有极限，每根木棒包含的原点数是有限的。原点是无形的规定，是限定的空间，不是绝对的无。）
5、当下全体是无限的，原点不断顿生，也是无限进行的。
原点在真空中不断产生，又不断消失于真空。在任一时段来看，原点是有限的，但是原点会无穷的产生下去，不会终止，这样我们会给每个原点一个序号：第一、第二、第三……正如自然数另一个重要性质“无穷”，可以永远数下去而不会终止在哪个数上。
看实无限与潜无限。
亚里士多德曾把无限分为潜无限和实无限，所谓潜无限是指：把无限作为永远在延伸着的，一种变化着，成长着被不断产生的东西，它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的。所谓实无限是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成的东西。亚里斯多德坚决排斥实无限，而只承认潜无限，他的观点深刻而长远的影响了后世的数学家们。直到康托尔肯定实无限，孤军创立集合论获得极大成功后，才渐渐接受实无限。
康托尔指出:极限理论是建立在实数理论基础之上的，而实数理论的建立（无理数的引进）又必须以实无穷（实无限）的概念为基础。而且，极限理论本身事实上也是建立在实无穷的概念之上的：因为变量如能取无穷多个值，就必须存在一个预先给定的、不能再变的取值“域”，这个域就是一个实无穷。
前文说康托尔证明了区间（0，1]是不可数集,为什么小小的一个（0，1]区间的实数竟然比全体自然数还要多?因为全体不可测量，任何规定的空间都是全体自规定，依然是无限全体本身，所以内部依然连续、无限，即限定的空间就是一个实无穷。
康托尔将区间（0,1]标示在数轴上，就有了空间意义。而想象着去无限分割这有限的空间，想象也就有了不断变化的时间意义，且可无限时间的“想象”下去，这样的潜无限是从心理上无限分割的“运动”来说。
所以值得辨析的问题是：康托尔认为通过一一对应的方法来比较两个集合的“元素”多少，其实是一种心理上的对应。如他认为区间（0，1]和任意大小的正方形的“点”一样多。注意我们将“元素”、“点”用引号标出，因为任意大小的正方形从外部看都是限定的空间，构成的点绝对不可能一样多——说构成的点是指客观不可再分的原点基元。康托尔不过是把区间（0，1]在心理上无限划分，形成一个个点——心理上自己想象的可以划分的点，再在心理上把正方形范围的空间无限划分，然后将区间（0，1]心理无限划分的点与正方形内的想象无限划分的点去对应，因为限定的区间、空间都是实无穷，都是不可数集，所以自然可以想象着一一对应。但此点非彼点，这个想象的点已非客观集合成有形物体的基元。
更重要的是心理上的无限划分，我们并没有真正的去无限划分，只是我们想象最后能形成一个个点，认为这点没有大小。而且，这种想象中的对应也没有穷尽之时，需要无限进行。
所以，这样的对应并不是对等的对应，说单位区间与正方形的点数一样多，与整个平面的点一样多，所说的点不是客观的点。如果用不可分的原点基元来测量、对应，是可以比较多少大小的。
康托尔这种对应研究的最大价值在于证明：
（1）限定的区间空间与限定之外一样都是实无穷。
（2）离散的可数，连续的不可数。
实无限与潜无限是何关系？正因为实无限连续、无限，所以可以想象连续分割而永远没有终止，可以将静止的实无限代之以动态的潜无限，如果没有先在的具有连续性的实无限为基础、为前提，是不可能有ε—N和ε—δ的描述定义的。而且，该定义表面看来是对极限的一个静态观念，实际上“任取正数ε”就含有动变之义。要而言之：实无限是体、是空间上的意义，潜无限是性、是时间上的意义，两者是统一的、不分的。
这样看来，康托尔把实无限与潜无限进行对应，得出无穷也有无穷的大小颇值得反思，因为不自觉的混淆了实无限与潜无限的意义，何况康托尔的对应更多的是一种心理上的对应。实无限根本不是由离散元素去构造而完成，而离散元素就是实无限的相变现象，无限无穷也根本不应该作为一个数去对待。
下面再举一例略述,如下图：
图中不规则的周边是通过逐次在较大的等边三角形的边上切割等边三角形得到的，每开一次三角形，不规则的周边都增加一些，所圈面积都增多一点，但是很明显，周边永远不会伸到外界圆之外去，所以所圈的面积是有限的。随着切割次数的增加，周边无限延长。那么可以无限延长的周边围着的竟然是一块面积有限的空间。
圆是规定空间，所以面积有限。但我们再三论述，规定是全体在自身内的规定，全体是实无限，规定的空间内也是实无限，在规定内的空间依然是无限连续的。科赫雪花曲线在外接圆内周长可以逐渐延长，这恰恰证明规定有限空间本质是实无限的规定，也是实无限。
特别是周边的无限延长是潜无限，只存在于时间中，存在于我们的意识中，我们列式计算周边，首先在意识上就想象有一个无限切割的过程。但是要知道不论我们切割多少次，在切割的当下，周边的空间长度绝对是有限的。
再次强调，无限空间是本体体的无限，当下的无限，无限时间是本体性的无限，是无法完成永远运动的潜无限。无限空间和无限时间是本体的一体两面，是有区别的两种无限。只有当下实无限，才能具有潜无限。物理数学中经常不加区别，导致许多错误的观点。
用上面的观点再看几个数学中的问题。
（1）全体自然数和全体正偶数，谁包含的数更多？从上述讨论，没有可比性，都是在时间上的潜无限，自然数和正偶数根本没有构成一个“当下”固定的“全体”，构成不了。如果任取一个时间段，如到第N个自然数为止，则N肯定大于其中的偶数。
（2）用圆规画两同心圆，哪个圆的点多？回答是，大圆上的点多。认为一样多的对应，同样是是心理上的对应——对应的点都不是客观的原点基元：把两同心圆的点用公共半径连接起来，就构成两圆上点的一一对应关系，对应大圆上的任意一点，通过半径，总可以找到小圆上的一点与它对应，反之，对于小圆上的任意一点，通过公共半径，总可以找到大圆上的点与它对应，于是就认为大小圆上的点一样多。如以原点测量，构成圆上的点都是有限的，小圆上的点少。限定的空间从外部是可以比较大小的。
（3）任意一个球体可以被分成有穷多份后，重新组合成两个与原来大小一样的球体？同理是不可能的，只是一种想象。停止分割的最终单位不是客观不可分的原点基元，而是心理上再造的想象的点。
（4）希尔伯特无限旅馆。我们的解释是具体有形的无限数量只能是在无尽的时间中逐渐实现的潜无限，当下无法存在一个“无限多房间”的旅馆，当下不可能入住无限多的旅客。因此下面操作是现实中不可能发生的。“让每一个原先入住的客人从n号房间搬到了2n号房间，于是只有无限多的偶数号房间里住了人,而空闲下来的无限多个奇数房间由新来的客人入住。”如此反直觉反常识只能是我们的心理上的思维操作，想象而已。
6、物理世界守恒的原因之一是原点基元的一致性，原点基元一致性的原因是自身规范自否一致的表达体现，而为什么存在这样的本体，本体为什么建立这样规范，却无法用逻辑去证明，或者只能说自身存在、表达就是证明。我们说的理性、逻辑，一般是指自然中的事物、事件都要依赖于外在于它们的事物、事件才能得到解释，但是本体之外没有什么东西来解释本体，对于本体的存在是失去逻辑意义的，无理性。
逻辑思维的基础是集合系统，而集合论属于理性范畴。哥德尔严格证明了：永远都存在解决不了的逻辑问题。
年哥德尔证明了被称为第一不完全性的定理：任何一个足以包含自然算术的形式系统，如果它是相容的，则它必定存在一个不可判定的命题，即存在某一命题s,使s和s的否定在这系统都不可证。S的这种不可证只与系统内部的可证性相关。我们从外部看，s是真的。换言之，这意味着在一个无矛盾的形式系统内部存在着这样的不可判定的命题：它从系统外部看是真命题，却无法在系统内部获得证明。哥德尔第一步完全性定理表明任何无矛盾的形式系统都是不完全的，逻辑系统不可能把全部数学真理包含在内。
哥德尔第二不完全性定理表明的是：如果一个足以包含自然数算术的公理系统是无矛盾的，那么这种无矛盾性在该系统内是不可证明的。换言之，在一个系统内可以进行理性的逻辑思维，但是系统本身的理性是无法证明的，是无理性的。
对于自然数我们常用的公设系统就是皮亚诺公设。由哥德尔不完备定理而得的一个结论就是“皮亚诺公设是不完备的”，即存在从皮亚诺公设系统无法证明的关于自然数的命题。
自然数的无矛盾性一致性在该系统内是无法证明的。就像本体为什么存在无法证明，为什么建立不完全否定的规范一样无法证明。
综上述，是否看起来最简单、最抽象、最自然的具有一致性、最不需要问为什么是最早诞生的数系——自然数就蕴含了宇宙的奥秘，是宇宙起源的直接描述？因此，数学具有“无理由的有效性”?从这个意义上说自然数是真实客观存在的?
