以下根据“高山科学经典”第57期杨英锐教授、吴咏时教授、徐晓老师分享的《数学与自然科学之哲学》书籍导读内容整理而成。
导读部分内容剧透1.我的导读题目是“一个科学英雄的伟大失误”。之所以说是“科学英雄”，是因为外尔在本书中用过“英雄”一词，他在科学的道路上有强烈的英雄感。这里用到的“伟大失误”，我认为是外尔学术生涯里最大的亮点。
2.要了解一个学者，了解他的学术道路和他的书，首先要了解他的师承。外尔是希尔伯特的学生，“希尔伯特帅旗所指，必有外尔挥军所至。”他几乎踏遍了希尔伯特感兴趣的所有研究领域。
.看不到以希尔伯特为首领的哥廷根学派的科学精神面貌，看不到他们对整个学科的整体性的科学担当，就理解不了外尔。
4.外尔的工作直接涉及到希尔伯特2问题，比如问题1“连续统假设”（本书第一部分第二章对无理数与无穷的讨论）、问题2“算数公理的相容性”（本书第一部分第一章对数理逻辑的讨论）、问题6“公理化物理学”（本书第二部分）……
5.外尔所处的20世纪初是一个科学英雄的时代。他的同辈爱因斯坦年提出狭义相对论，年提出广义相对论；罗素0年发表《数学原理》；海森堡年创立了量子力学（即波尔说的矩阵力学）；外尔正好在中间，年他发表了《数学与自然科学之哲学》；然后是年，狄拉克发表《量子力学原理》；年，哥德尔做出了一阶理论的不完全性定理；年，冯·诺伊曼发表《量子力学基础》……
6.外尔走出广义相对论局限而创立量子场论和规范场论的这一条路，艰难崎岖。但外尔非常坚强，没有这种执着，他坚持不下来。
7.如果外尔在当时就把长度变成相位，他的科学成就会更高，他后来在学术界的声誉，在公众眼中的学术地位就会更高。
8.要想理解一个领域，最好是读经典。经典著作实际上是最好读的著作，作者大都是这个学科的创立者，他会拼命想怎么能让人读懂这本书，理解作者的思想。
9.本书的哲学着眼点在两方面，一是数学与物理学的关系，二是逻辑学与数学的关系（元数学）。延伸一下就是逻辑学与物理学之间的关系。
10.外尔发展出的规范场论，不光是分清了局域和全局两个层次，后来的规范场论从外尔开始区分了规范势和规范场强两个层级。
11.数理逻辑实际上研究的如何由定域的内容生成形式系统，每个形式系统都有其形式语言。形式语言有其形式句法和形式语义二个标准组分。句法部分已经脱离了任何具体的内容，即扬弃了日常生活中积累的所有的意义概念。所以需要重新构造只与逻辑意义（即真值）有关的形式语义学（模型论）。在形式句法和形式语义之间的关系称为元性质。在物理学中，这相当于研究标准模型和热力学之间关系的元理论。这个研究方向，既是希尔伯特蓝图的题中应有之义，也是外尔未竟的事业。
1.十九世纪下半叶以来数学上非欧几何、连续群及其表示论、数学物理方程和变分法的（泛函）分析等重大进展，都为20世纪初叶物理学的两大革命---(狭义和广义)相对论和量子力学，提供了坚实的工具和严格的理论基础。
2.外尔的这本书和他本人的实际成就，都体现了数学和物理两大学科的自然结合、相辅相成。
.相对论带来时空理论的革命性变革一直影响至今。一是狭义相对论里，时间和空间结合成平坦的时空，二是广义相对论里，物质造成了时空的弯曲，弯曲的时空又造成了物质运动的变化。
4.量子力学的第一本教科书是外尔的《群论和量子力学》（德文版），比狄拉克的《量子力学原理》（英文版）早了约两年左右的时间。
5.8年，外尔迈出了从广义相对论（时空的弯曲几何）进到规范场理论（数学上更为一般的联络论）伟大的第一步。数学上这是非常重要的观念发展，但是他的物理模型出了问题。这就是杨老师刚才提到的失误：外尔把他的规范理论的基础解释为长度的单位局域可以任意选取。爱因斯坦当即指出，这将预言尺子的长度依赖于它的运动历史，从而和日常经验矛盾。在量子力学出现不久的9年，外尔就修改了他的规范理论的物理内涵：把电磁理论的基本性质和电子波相位的局域任意性联系起来。爱因斯坦的质疑就不再成立，外尔的规范场观念也得了广泛的公认。
年代杨振宁-米尔斯大大发展了外尔的观念，结合当时基本粒子的实验，提出了非交换群的规范场理论。杨-米尔斯规范原理和对称性自发破缺相结合，导致20世纪下半叶粒子物理标准模型的出现。这实际上初步达成了物理学的几何化纲领。
6.从物理学家的角度来讲，核心竞争力有两条：一条是物理学的直觉，一条是使用数学作为物理学的精确语言。可以试图把这两条完美地结合起来，化物理直觉为数学语言，爱因斯坦提出广义相对论，外尔和杨振宁提出规范场理论和原理，都是很好的例子。
7.我个人有个感觉：当今时代是自牛顿以来，基础物理学的下一步发展最迫切需要和数学的进一步发展相互配合、携手共进的关键时期。
1.外尔的思想深深地影响20世纪数学和物理学的研究方法，他的这本书是我们了解现代数学和物理学思想变革和发展路径的经典。
2.按压指纹时，一按压就会把指纹的形状压平，这就出现了曲面形状的变化，如何分析这个变化中的变化量和不变量？不变的是指纹局部的特征，变化的是指纹的整个形状。广义相对论中出现的“联络”概念所描述的，就是像按压指纹时，指纹的一个特征点向另外一个特征点变化的过程中的形状变化。这些变化和不变量之间的关系，则会使用逆变导数和协变导数这样的一些概念。
.数学是最讲逻辑、最讲理性的，它最应该使用一系列形式化的公式来描述。
下期预告年5月20日（本周六）晚20:00，“高山科学经典”直播间，邀请到上海交通大学生命科学技术学院教授乔中东；上海交通大学Bio-X研究院研究员贺光；复旦大学哲学学院科学哲学与逻辑学系讲师张明君，一起导读《进化是什么》。
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